ARIMA: Contoh Perhitungan Forecasting Manual ARIMA(1,1,0)

Tutorial ini membahas ARIMA dan contoh perhitungan manual ARIMA(1,1,0) untuk forecasting data deret waktu. Contoh menggunakan data penjualan bulanan yang memiliki kecenderungan tren naik.

Perhitungan dimulai dari melakukan differencing, membentuk model autoregressive pada data yang sudah didifference, menghitung parameter model, melakukan forecast historis, mengevaluasi error, hingga memprediksi beberapa periode berikutnya.

Daftar Isi

Pengertian ARIMA
Arti Parameter p, d, dan q
Model ARIMA(1,1,0)
#01 Data Aktual
#02 Melakukan Differencing
#03 Membentuk Data AR(1)
#04 Menghitung Parameter φ dan Konstanta
#05 Menghitung Forecast Historis
#06 Menghitung Error
#07 Menghitung MAE, MSE, dan MAPE
#08 Forecast Periode Berikutnya
Cara Menentukan p, d, dan q
Ringkasan
FAQ ARIMA
Referensi
Source Code ARIMA

Pengertian ARIMA

ARIMA adalah singkatan dari Autoregressive Integrated Moving Average. Metode ini digunakan untuk memodelkan dan meramalkan data deret waktu berdasarkan pola hubungan nilai sekarang dengan nilai masa lalu dan error masa lalu.

ARIMA biasanya ditulis sebagai ARIMA(p,d,q). Pada tutorial ini digunakan model sederhana ARIMA(1,1,0) agar proses perhitungan manual mudah dipahami.

Arti Parameter p, d, dan q

p adalah orde Autoregressive (AR), yaitu jumlah lag data masa lalu yang digunakan.
d adalah jumlah proses differencing yang dilakukan untuk membantu membuat data lebih stasioner.
q adalah orde Moving Average (MA), yaitu jumlah lag error masa lalu yang digunakan.

ARIMA(1,1,0) berarti menggunakan satu lag autoregressive, melakukan differencing satu kali, dan tidak menggunakan komponen MA error.

Model ARIMA(1,1,0)

Karena \(d=1\), data aktual terlebih dahulu diubah menjadi selisih:

D_t = Y_t-Y_{t-1}

Setelah differencing, digunakan model AR(1):

D_t = c+\phi D_{t-1}+e_t

Untuk melakukan forecast:

\hat{D}_t = c+\phi D_{t-1}

kemudian dikembalikan ke skala data asli:

\hat{Y}_t = Y_{t-1}+\hat{D}_t

#01 Data Aktual

Contoh menggunakan 10 data penjualan bulanan.

Periode	Aktual
Januari	120
Februari	126
Maret	131
April	137
Mei	142
Juni	149
Juli	154
Agustus	160
September	166
Oktober	173

#02 Melakukan Differencing

Data memiliki kecenderungan naik, sehingga pada contoh ini dilakukan differencing satu kali.

Contoh Differencing Februari

Sebelum melihat tabel, hitung selisih Februari terhadap Januari:

D_{Feb} = 126 - 120 = 6

Contoh Differencing Maret

D_{Mar} = 131 - 126 = 5

Periode	Aktual	Differencing Dt
Januari	120	-
Februari	126	6
Maret	131	5
April	137	6
Mei	142	5
Juni	149	7
Juli	154	5
Agustus	160	6
September	166	6
Oktober	173	7

#03 Membentuk Data AR(1)

Untuk model AR(1), differencing periode sebelumnya digunakan sebagai variabel \(X\), sedangkan differencing periode sekarang menjadi \(Y\).

Contoh Pasangan Pertama

Untuk memodelkan differencing Maret:

\(X=D_{Feb}=6\)
\(Y=D_{Mar}=5\)

Periode Target	X = Dt-1	Y = Dt	XY	X²
Maret	6	5	30	36
April	5	6	30	25
Mei	6	5	30	36
Juni	5	7	35	25
Juli	7	5	35	49
Agustus	5	6	30	25
September	6	6	36	36
Oktober	6	7	42	36
Total	46	47	268	268

#04 Menghitung Parameter φ dan Konstanta

Pada contoh manual ini, parameter AR(1) dihitung menggunakan regresi linear sederhana pada pasangan \(D_{t-1}\) dan \(D_t\).

Menghitung φ

\phi = \frac{ n\sum XY-(\sum X)(\sum Y) }{ n\sum X^2-(\sum X)^2 }

\phi = \frac{ (8 \times 268) - (46 \times 47) }{ (8 \times 268) - (46)^2 } = -0.6429

Menghitung Konstanta c

c = \frac{ \sum Y-\phi\sum X }{n}

c = \frac{ 47 - (-0.6429 \times 46) }{ 8 } = 9.5714

Model differencing yang diperoleh:

\hat{D}_t = 9.5714 - 0.6429D_{t-1}

#05 Menghitung Forecast Historis

Contoh Forecast Maret

Differencing sebelumnya adalah:

D_{Feb}=6

Forecast differencing Maret:

\hat{D}_{Mar} = 9.5714 - (0.6429 \times 6) = 5.7143

Kemudian dikembalikan ke skala penjualan:

\hat{Y}_{Mar} = Y_{Feb}+\hat{D}_{Mar} = 126 + 5.7143 = 131.7143

Dengan cara yang sama, forecast satu langkah ke depan dihitung untuk periode berikutnya.

Periode	Aktual	Dt-1	Forecast Dt	Forecast Yt
Maret	131	6	5.7143	131.7143
April	137	5	6.3571	137.3571
Mei	142	6	5.7143	142.7143
Juni	149	5	6.3571	148.3571
Juli	154	7	5.0714	154.0714
Agustus	160	5	6.3571	160.3571
September	166	6	5.7143	165.7143
Oktober	173	6	5.7143	171.7143

#06 Menghitung Error

Error:

e_t=Y_t-\hat{Y}_t

Contoh untuk Maret:

e_{Mar} = 131 - 131.7143 = -0.7143

Absolute Error = 0.7143, Squared Error = 0.5102, dan APE = 0.5453%.

Periode	Aktual	Forecast	Error	\|Error\|	Error²	APE
Maret	131	131.7143	-0.7143	0.7143	0.5102	0.5453%
April	137	137.3571	-0.3571	0.3571	0.1276	0.2607%
Mei	142	142.7143	-0.7143	0.7143	0.5102	0.503%
Juni	149	148.3571	0.6429	0.6429	0.4133	0.4314%
Juli	154	154.0714	-0.0714	0.0714	0.0051	0.0464%
Agustus	160	160.3571	-0.3571	0.3571	0.1276	0.2232%
September	166	165.7143	0.2857	0.2857	0.0816	0.1721%
Oktober	173	171.7143	1.2857	1.2857	1.6531	0.7432%

#07 Menghitung MAE, MSE, dan MAPE

MAE

MAE = \frac{\sum |Y_t-\hat{Y}_t|}{n} = 0.5536

MSE

MSE = \frac{\sum(Y_t-\hat{Y}_t)^2}{n} = 0.4286

MAPE

MAPE = \frac{1}{n} \sum \left| \frac{Y_t-\hat{Y}_t}{Y_t} \right| \times100\% = 0.3657\%

Metrik	Nilai
MAE	0.5536
MSE	0.4286
MAPE	0.3657%

#08 Forecast Periode Berikutnya

Forecast setelah Oktober dilakukan secara rekursif. Forecast differencing periode pertama menggunakan differencing aktual terakhir, sedangkan periode selanjutnya menggunakan forecast differencing sebelumnya.

Contoh Forecast November

Differencing terakhir:

D_{Oct} = 7

Forecast differencing November:

\hat{D}_{Nov} = 9.5714 - (0.6429 \times 7) = 5.0714

Forecast November:

\hat{Y}_{Nov} = 173 + 5.0714 = 178.0714

Periode	Forecast Differencing	Forecast
November	5.0714	178.07
Desember	6.3112	184.38
Januari Tahun Berikutnya	5.5142	189.9

Cara Menentukan p, d, dan q

Pada penerapan ARIMA yang sebenarnya, parameter tidak harus selalu \(p=1\), \(d=1\), dan \(q=0\). Model dapat ditentukan melalui beberapa tahap:

d ditentukan berdasarkan kebutuhan differencing untuk memperoleh data yang lebih stasioner.
p dapat dibantu dengan analisis PACF.
q dapat dibantu dengan analisis ACF.
Beberapa kandidat model kemudian dibandingkan menggunakan diagnostik residual dan kriteria/model error yang sesuai.

ARIMA(1,1,0) pada artikel ini dipilih sebagai contoh edukasi agar seluruh proses dapat dihitung secara manual.

Ringkasan

ARIMA(1,1,0) pada contoh ini melakukan differencing satu kali, kemudian memodelkan perubahan data menggunakan satu lag autoregressive. Model differencing yang diperoleh adalah:

\hat{D}_t = 9.5714 - 0.6429D_{t-1}

Forecast November adalah 178.07. Evaluasi forecast historis menghasilkan MAE 0.5536, MSE 0.4286, dan MAPE 0.3657%.

FAQ ARIMA

Apa kepanjangan ARIMA?

ARIMA adalah Autoregressive Integrated Moving Average.

Apa fungsi differencing pada ARIMA?

Differencing digunakan untuk mengurangi tren atau perubahan level sehingga deret waktu lebih mendekati kondisi stasioner.

Apa perbedaan AR, I, dan MA?

AR menggunakan hubungan dengan nilai masa lalu, I menunjukkan proses differencing, sedangkan MA menggunakan hubungan dengan error masa lalu.

Apakah ARIMA(1,1,0) selalu cocok?

Tidak. Nilai p, d, dan q harus disesuaikan dengan karakteristik data dan dievaluasi menggunakan diagnostik model.

Apakah ARIMA cocok untuk data musiman?

Untuk pola musiman yang kuat dapat digunakan pengembangan ARIMA musiman yang dikenal sebagai SARIMA.

Apa metode berikutnya setelah ARIMA?

Salah satu kelanjutan yang umum adalah SARIMA untuk data yang memiliki pola musiman selain tren dan hubungan autoregressive.

Referensi

Box, G. E. P., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C. & Ljung, G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Wiley.
Hyndman, R. J. & Athanasopoulos, G. Forecasting: Principles and Practice. OTexts.

Source Code ARIMA

Berikut adalah beberapa source code yang menggunakan metode ARIMA untuk forecasting.

Ada yang Ditanyakan?

Jika anda masih ada kesulitan atau kekeliruan tentang penjelasan metode di atas, bisa menghubungi kami lewat WA/Email sesuai halaman Kontak.

Jika ingin memiliki file excel dari metode di atas bisa melihat cara download di halaman Download.

Jika ingin memiliki source code dari metode di atas, baik berbasis web maupun desktop bisa melihat daftar harga donasi di halaman Daftar Source Code.

Donasi ini digunakan oleh penulis untuk membayar server dan membeli kopi sembari membuat tutorial Metode/Algoritma lainnya :).